CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces n- ésimas diferentes a raíces cuadradas o cúbicas.
Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz n-ésima al primer y segundo término.
Dividir la expresión original entre la suma o resta (de acuerdo al signo del segundo término) de las raíces.
Igualar éste término a la suma de los (n-1) monomios en donde se observa que el primer termino comienza elevado a la (n-1) y termina en 0, mientras que el segundo término comienza en 0 y termina en (n-1).
Pasar a multiplicar el término ubicado en el denominador a la expresión obtenida en el paso anterior.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: (m5 + n5) / (m +n )
SOLUCIÓN:
(m5 + n5) / (m + n ) = m4 – m3 n + m2 n2 - m n3 + n4
(m5 + n5) = (m + n ) . (m4 – m3 n + m2 n2 - m n3 + n4)
sábado, 7 de noviembre de 2009
Caso 9 - SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces de acuerdo al signo que se tiene en la expresión.
Multiplicar por otro paréntesis en el que se coloca la primera raíz elevada al cuadrado, luego la multiplicación de las dos raíces, y por último la segunda raíz elevada al cuadrado.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a3 - 8
SOLUCIÓN:
a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )
raíces cúbicas: a 2
El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces de acuerdo al signo que se tiene en la expresión.
Multiplicar por otro paréntesis en el que se coloca la primera raíz elevada al cuadrado, luego la multiplicación de las dos raíces, y por último la segunda raíz elevada al cuadrado.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a3 - 8
SOLUCIÓN:
a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )
raíces cúbicas: a 2
Caso 8- CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son cuatro (4).
La raiz del primer y cuarto monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El segundo y tercer término tienen que cumplir el triángulo de Pascal.
El primer término siempre debe ser positivo.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y cuarto término.
Multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la ráiz del cuarto y ésto por tres.
Verificar que dé igual al segundo término de la expresión.
Multiplicar la raíz del cuarto elevada al cuadrado por la ráiz del primero y ésto por tres.
Verificar que dé igual al tercer término de la expresión.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces del primer y cuarto términos (de acuerdo al signo del segundo monomio), y todo elevado a la tres.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: 125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512y15
SOLUCIÓN:
125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15 = (5 x 4 +8 y5 )3
raíces cúbicas: 5 x 4 8 y5
3. (5 x4)2 . (8 y5) 3 . (5 x4) . (8 y5)2
= 600 x8 y5 =960 x4 y10
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son cuatro (4).
La raiz del primer y cuarto monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El segundo y tercer término tienen que cumplir el triángulo de Pascal.
El primer término siempre debe ser positivo.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y cuarto término.
Multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la ráiz del cuarto y ésto por tres.
Verificar que dé igual al segundo término de la expresión.
Multiplicar la raíz del cuarto elevada al cuadrado por la ráiz del primero y ésto por tres.
Verificar que dé igual al tercer término de la expresión.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces del primer y cuarto términos (de acuerdo al signo del segundo monomio), y todo elevado a la tres.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: 125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512y15
SOLUCIÓN:
125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15 = (5 x 4 +8 y5 )3
raíces cúbicas: 5 x 4 8 y5
3. (5 x4)2 . (8 y5) 3 . (5 x4) . (8 y5)2
= 600 x8 y5 =960 x4 y10
Caso 7-TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
El primer y tercer término no tienen raíces cuadradas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Multiplicar todos los términos por el coeficiente del primer monomio, dejando en el segundo tan solo expresado es decir no se multiplica, y dividir toda la expresión por el mismo número
Sacar la raíz cuadrada al primer término del numerador.
Aplicar el caso sexto de factorización.
Sacar factor común (si se puede) en cada uno de los paréntesis obtenidos con el fín de simplicar estos factores con el número del denominador.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: 5x2 + 13 x - 6
SOLUCIÓN
5x2 + 13 x - 6 = (25x2 + 13 . ( 5 x) - 30) / 5
raíz cuadrada: 5 x
= ( (5x + 15) . (5x - 2) ) / 5
= ( 5. (x + 3) . (5x - 2) ) / 5
= (x + 3) . (5 x -2)
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
El primer y tercer término no tienen raíces cuadradas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Multiplicar todos los términos por el coeficiente del primer monomio, dejando en el segundo tan solo expresado es decir no se multiplica, y dividir toda la expresión por el mismo número
Sacar la raíz cuadrada al primer término del numerador.
Aplicar el caso sexto de factorización.
Sacar factor común (si se puede) en cada uno de los paréntesis obtenidos con el fín de simplicar estos factores con el número del denominador.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: 5x2 + 13 x - 6
SOLUCIÓN
5x2 + 13 x - 6 = (25x2 + 13 . ( 5 x) - 30) / 5
raíz cuadrada: 5 x
= ( (5x + 15) . (5x - 2) ) / 5
= ( 5. (x + 3) . (5x - 2) ) / 5
= (x + 3) . (5 x -2)
Caso 6-TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
La raiz del primer tienen que ser raíces cuadradas perfecta.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El primer término siempre debe ser positivo.
El tercer término no es un cuadrado perfecto.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer término.
Abrir dos paréntesis en donde en cada uno el primer término es la raíz obtenida.
Colocar en el primer paréntesis el signo del segundo término de la expresión original.
Colocar en el segundo paréntesis el signo obtenido de la multiplicación entre los signos del segundo y tercer término de la expresión original.
Buscar dos números que multiplicados me den el coeficiente del tercer término de la expresión original, y sumados el del segundo término.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a2 + 7 a + 10
SOLUCIÓN
a2 + 7 a + 10 = (a + 5) . (a + 2)
raíz cuadrada: a
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
La raiz del primer tienen que ser raíces cuadradas perfecta.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El primer término siempre debe ser positivo.
El tercer término no es un cuadrado perfecto.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer término.
Abrir dos paréntesis en donde en cada uno el primer término es la raíz obtenida.
Colocar en el primer paréntesis el signo del segundo término de la expresión original.
Colocar en el segundo paréntesis el signo obtenido de la multiplicación entre los signos del segundo y tercer término de la expresión original.
Buscar dos números que multiplicados me den el coeficiente del tercer término de la expresión original, y sumados el del segundo término.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a2 + 7 a + 10
SOLUCIÓN
a2 + 7 a + 10 = (a + 5) . (a + 2)
raíz cuadrada: a
Caso 5- Trinomio Cuadrado Perfecto por adicion y sustraccion
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
La raiz del primer y tercer monomio tienen que ser raíces cuadradas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El primer término siempre debe ser positivo.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer y tercer término.
Multiplicar las raíces entre sí y luego por dos (2).
Verificar que ésta multiplicación da igual al segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces teniendo en cuenta el signo del segundo término, y elevar todo éste paréntesis al cuadrado.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a2 – 10 a + 25
SOLUCIÓN:
a2 – 10 a + 25 = (a - 5)2
10a
raíces cuadradas multiplicadas por 2:
2 . ( a 5)
El número de monomios que la conforma son tres (3).
La raiz del primer y tercer monomio tienen que ser raíces cuadradas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El primer término siempre debe ser positivo.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer y tercer término.
Multiplicar las raíces entre sí y luego por dos (2).
Verificar que ésta multiplicación da igual al segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces teniendo en cuenta el signo del segundo término, y elevar todo éste paréntesis al cuadrado.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a2 – 10 a + 25
SOLUCIÓN:
a2 – 10 a + 25 = (a - 5)2
10a
raíces cuadradas multiplicadas por 2:
2 . ( a 5)
Caso 4-Diferencia de Cuadrados PErfectos
En una diferencia de dos cuadrados perfectos.
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos.
2) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas.
1) Factorizar 25x2 - 1
La raíz cuadrada de : 25x2 es 5x
La raíz cuadrada de : 1 es 1
Luego 25x2 - 1 = (5x + 1)(5x - 1)
2) Factorizar 16x2 - 36y4
La raíz cuadrada de : 16x2 es 4x
La raíz cuadrada de : 36y4 es 6y2
Luego 16x2 - 36y4 = (4x + 6y2)(4x - 6y2)
3) Factorizar 121a2b4c8 - 144d10e14
La raíz cuadrada de : 121a2b4c8 es 11ab2c4
La raíz cuadrada de : 144d10e14 es 12d5e7
Luego 121a2b4c8 - 144d10e14 = (11ab2c4 + 12d5e7)(11ab2c4 - 12d5e7)
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos.
2) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas.
1) Factorizar 25x2 - 1
La raíz cuadrada de : 25x2 es 5x
La raíz cuadrada de : 1 es 1
Luego 25x2 - 1 = (5x + 1)(5x - 1)
2) Factorizar 16x2 - 36y4
La raíz cuadrada de : 16x2 es 4x
La raíz cuadrada de : 36y4 es 6y2
Luego 16x2 - 36y4 = (4x + 6y2)(4x - 6y2)
3) Factorizar 121a2b4c8 - 144d10e14
La raíz cuadrada de : 121a2b4c8 es 11ab2c4
La raíz cuadrada de : 144d10e14 es 12d5e7
Luego 121a2b4c8 - 144d10e14 = (11ab2c4 + 12d5e7)(11ab2c4 - 12d5e7)
Caso 3- Trinomio Cuadrado Perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.
Todo trinomio de la forma:
a^2+2ab+b^2
es un trinomio cuadrado perfecto ya que
(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+ab+… \,\!
Siendo la regla: El cuadrado del primero mas el doble del primer por el segundo termino mas el cuadrado del segundo termino. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
1. El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable
2. Dos de los términos son cuadrados perfectos
3. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.
Un trinomio cuadrático general de la forma ax²+bx+c es un TCP si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la cantidad b²-4ac es siempre igual a 0
Todo trinomio de la forma:
a^2+2ab+b^2
es un trinomio cuadrado perfecto ya que
(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+ab+… \,\!
Siendo la regla: El cuadrado del primero mas el doble del primer por el segundo termino mas el cuadrado del segundo termino. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
1. El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable
2. Dos de los términos son cuadrados perfectos
3. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.
Un trinomio cuadrático general de la forma ax²+bx+c es un TCP si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la cantidad b²-4ac es siempre igual a 0
Caso 2- Factor Coun por agrupacion de Terminos
Factor Común.
Te das cuenta porque en TODOS los términos hay algo en común.
Si son números buscás uno que divida a todos y si son letras elegís la de menor exponente.
Por ej.
Sacás lo que creas que es factor común, en este caso es 5 y x^3, abrís paréntesis y dividís cada término por lo que sacaste de factor común.
15 x^7 + 25 x^3 - 30 x^8 =
5x^3 ( 15x^7 / 5x^3 + 25x^3 / 5x^3 - 30x^8 / 5x^3) =
5x^3 (3x^4 + 5 + 6x^5)
Recordando que al dividir letras ó variables se restan los exponentes.
Factor Común en Grupos.
En este caso hay cosas comunes pero en distintos grupos, siempre tienen que haber 4 ó más términos pero en número par.
Tambien se llama doble factor común porque hacés dos veces FC ya que primero aplicás por separado FC para cada grupo y luego lo transformás en un producto al volver a factorizar.
Ej.
2y + 2j +3xy + 3xj =
2(2y/2 + 2j/2) + 3x(3xy/3x + 3xj/3x) =
2(y + j) + 3x( y + j) y ahora el FC es (y + j) y vuelvo a aplicar FC
(y + j) (2(y +j)/ (y + j) + 3x(y + j) / (y + j) =
(y + j) (2 + 3x)
Te das cuenta porque en TODOS los términos hay algo en común.
Si son números buscás uno que divida a todos y si son letras elegís la de menor exponente.
Por ej.
Sacás lo que creas que es factor común, en este caso es 5 y x^3, abrís paréntesis y dividís cada término por lo que sacaste de factor común.
15 x^7 + 25 x^3 - 30 x^8 =
5x^3 ( 15x^7 / 5x^3 + 25x^3 / 5x^3 - 30x^8 / 5x^3) =
5x^3 (3x^4 + 5 + 6x^5)
Recordando que al dividir letras ó variables se restan los exponentes.
Factor Común en Grupos.
En este caso hay cosas comunes pero en distintos grupos, siempre tienen que haber 4 ó más términos pero en número par.
Tambien se llama doble factor común porque hacés dos veces FC ya que primero aplicás por separado FC para cada grupo y luego lo transformás en un producto al volver a factorizar.
Ej.
2y + 2j +3xy + 3xj =
2(2y/2 + 2j/2) + 3x(3xy/3x + 3xj/3x) =
2(y + j) + 3x( y + j) y ahora el FC es (y + j) y vuelvo a aplicar FC
(y + j) (2(y +j)/ (y + j) + 3x(y + j) / (y + j) =
(y + j) (2 + 3x)
Caso 1- Factor Comun
el factor comun es aquel elemento que se repite en una ecuación, esto se entiende mejor mediante ejemplos:
x^2+x= x(x+1)
4x+2= 2(2x+1)
se trata de un elemento comun en todas las partes el cual puedes sacar fuera y ponerlo como si fuese un producto quedando la misma expresion.
2x+3, aqui no podemos sacr factor comun ya que no existe ninguna relacion entre los elementos.
x^2+x= x(x+1)
4x+2= 2(2x+1)
se trata de un elemento comun en todas las partes el cual puedes sacar fuera y ponerlo como si fuese un producto quedando la misma expresion.
2x+3, aqui no podemos sacr factor comun ya que no existe ninguna relacion entre los elementos.
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